用“先宏观、后细节”的路线图，把李群和李代数这两个概念一次讲透，并给出它们在数学、物理、工程中的核心作用。

您可以按需跳过已懂的部分，或按图索骥深入细节。

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一、一句话总览

李群 = 同时是“群”又是“光滑流形”的对象，可用来描述“连续对称”。

李代数 = 李群在单位元处的“切空间 + 一种反对称括号”，用来把群论问题微分线性化。

李群提供“连续对称”的全局几何，李代数把它微分线性化；两者通过指数/对数映射来回切换，从而把非线性群论问题转化为线性代数问题，成为现代几何、物理、工程的核心语言。

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指数映射：将李代数元素映射到李群中

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二、李群：对称的“连续版本”

1. 定义（数学）

集合 G 同时满足两条：

(i) 群结构：封闭、结合、单位元、逆元；

(ii) 光滑流形结构：元素之间可做微积分。

群运算 μ:G×G→G 与逆运算 i:G→G 都是光滑映射。

→ 关键词：topological group + smooth manifold = Lie group。

2. 典型例子（从小到大）

SO(2)：平面旋转群。元素 e^{iθ}，θ∈ℝ/2πℤ。拓扑是圆 S¹。

SO(3)：三维旋转群。元素 3×3 正交矩阵 R，det R=+1。

SE(3)：刚体运动群（旋转+平移）。机器人学“位形”空间。

GL(n,ℝ)：所有可逆 n×n 矩阵；SL(n,ℝ)：行列式为 1 的子群。

U(n)、SU(n)：量子力学里的幺正群。

微分同胚群 Diff(M)：广义相对论中的“坐标变换”群。

3. “作用”与“对称”

李群可作用在流形 M 上：ρ:G×M→M。

物理上：G 的对称 ⇒ 守恒量（Noether）。

例：SO(3) 旋转对称 ⇒ 角动量守恒。

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三、李代数：把群问题线性化

1. 动机

群元素 g∈G 一般高度非线性，但“靠近单位元的微扰”可线性化：

g(ε)=exp(εX)≈I+εX，其中 X 属于单位元处的切空间 T_eG。

把 X 的集合记作 = Lie(G)。

2. 定义

是向量空间 + 一个双线性反对称括号 [·,·]（李括号），满足 Jacobi 恒等式：

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0。

指数映射 exp:→G 把 X 映回群元 e^X。

3. 经典对应表

群 G 李代数

SO(3) (3)=3×3 实反对称矩阵

SU(2) (2)=2×2 反厄米特矩阵

SE(3) (3)≈ℝ³⊕(3)（刚体速度空间）

GL(n,ℝ) (n,ℝ)=M_n(ℝ)

SL(n,ℝ) (n,ℝ)=迹零矩阵

4. 李括号的几何意义

[X,Y] 表示“先做 X 流，AG庄闲和游戏再做 Y 流，再做 -X，再做 -Y”的闭合失败量（微分几何里称为 Lie bracket of vector fields）。

物理：角速度向量 ω∈ℝ³ 的李括号就是叉积 ω₁×ω₂。

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四、李群 vs 李代数：桥梁定理

1. Lie I （Lie 定理）

局部：每个李群 ⇒ 唯一李代数。

局部逆：每个有限维实李代数 ⇒ 唯一单连通李群（通用覆盖）。

2. Lie II （同态提升）

若 G 单连通，则李群同态 Φ:G→H 与李代数同态 φ:→ 一一对应：

Φ(exp X)=exp(φ(X))。

3. Lie III （子对象）

连通李子群 H⊂G 对应 ⊂ 的子代数，且 H 由 exp() 生成。

4. 指数映射的“障碍”

对紧李群（SO(n), SU(n)），exp 是满射。

对非紧群（SL(2,ℝ)），exp 不一定满；存在“不可达”元素。

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常见对应关系

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五、在数学中的作用

1. 微分几何

主丛、联络、曲率的语言都建立在李值 1-形式（-值）。

对称空间的分类（Cartan）。

2. 表示论

李群表示 ⇋ 李代数表示（通过 exp 局部同构）。

权图、根系 → 分类半单李代数（Dynkin 图）。

3. 动力系统

李群作用下的不变量与约化（Marsden–Weinstein 约化）。

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六、在物理中的作用

1. 量子力学

SU(2) 双覆盖 SO(3)：自旋 1/2 粒子出现。

李代数生成元 = 物理可观测量（角动量算符 J_i 满足 [J_i,J_j]=iħε{ijk}J_k）。

2. 量子场论

规范群 G ⇒ 规范场 A_μ 取值于 。

Yang–Mills 作用量：F{μν}=∂μA_ν−∂νA_μ+[A_μ,A_ν]。

3. 粒子物理标准模型

规范群 SU(3)c × SU(2)L × U(1)Y。

自发对称破缺：李代数水平出现 Higgs 机制。

4. 广义相对论的微分同胚群

Diff(M) 是无限维李群，其李代数是光滑向量场 Lie algebra (M)。

约束代数（Dirac）决定 ADM 动力学。

5. 凝聚态

拓扑序中的对称保护态：用射影表示分类（群扩张与李代数上同调）。

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七、在工程与计算中的作用

1. 机器人与计算机视觉

SE(3) 上插值、优化、滤波（Lie 群卡尔曼滤波）。

避免“万向节锁”：用四元数/李代数参数化旋转。

2. 深度学习

等变网络（Equivariant NN）把特征空间做成群表示。

SE(3)-Transformer、LieConv 利用李代数参数化卷积核。

3. 数值积分

Lie–群积分器：保持辛结构/能量/动量；比传统 RK 更稳。

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八、速记

把李群想成“带群结构的曲面”，李代数就是“曲面在单位元的切平面 + 叉积”。

指数映射 exp 把切平面“卷”回曲面，对数映射 log 把曲面局部“摊”平到切平面。